中学校数学の文字式による証明の意味理解を促す授業実践 : 教材「指による掛け算」を用いて

本研究の背景には、学生が文字式を用いた証明の意味を理解するのが困難であるという問題があります。特に、文字式をどのように変形すると命題が真であると言えるのかを理解できず、形式的な操作にとどまる傾向があります。そこで、本研究では具体物の操作として文字式の意味を理解させることを目的として、「指による掛け算」という教材を活用し、生徒が「仮定と結論のつながり」を意識して証明を構成できる授業を設計・実践しました。具体的には、文字式を用いた証明の意味を生徒に理解させることを狙い、どのような証明の構成活動がなされるかを明らかにすることを目指しました。

研究の結果、生徒たちは、文字式の変形やその意味を考えることで証明を構成し、学級の約半数の生徒が文字式による証明の意味を理解できるようになりました。しかし、全ての生徒が理解できたわけではなく、理解の水準には個人差が見られました。特に、証明の構成において文字式の意味を意識しない場合も見受けられ、これが証明の意味理解に結びつかないケースもありました。典型的な理解を示した生徒S1は、「仮定と結論のつながり」を意識し、変形した文字式の表記と意味を往還しながら証明を構成することで、意味理解が促進されました。

授業では、「指による掛け算」を用いて、文字式の意味を具体物の操作として理解させる活動を行いました。授業は以下の三つの活動から構成されました。まず、導入部分で実際に指を操作しながら計算方法を確かめることで、何を式で表すのかを生徒に考えさせました。次に、文字式を変形する活動を通して生徒に「なぜそのように変形するのか」を考えさせました。最後に、授業のまとめとして立式と変形の意味を振り返り、「なぜ文字式をそのように変形すると命題が真であると言えるのか」を生徒に理解させる活動を行いました。

本研究の成果として、「指による掛け算」を用いた授業を通じて、生徒が文字式の意味を具体物の操作として理解することができ、証明の「仮定と結論のつながり」を意識して構成することが確認されました。しかし、すべての生徒がこの理解に到達したわけではなく、理解の水準には個人差がありました。このことから、文字式の意味を理解させるためには、具体的な操作を通じた繰り返しの活動が重要であることが示されました。また、証明を構成する活動が必ずしもその意味理解に結びつくわけではないことが明らかになりました。

今後の研究では、さらに多様な具体物の操作を取り入れ、生徒が文字式の意味をより深く理解できるようにする方法を探求することが求められます。特に、証明の構成において文字式の意味をどのように意識させるかについて、具体的な指導方法や教材の開発が必要です。また、指を使った操作だけでなく、他の具体的な道具やモデルを用いることで、生徒の理解を促進する方法を考察することも重要です。これにより、より広範な生徒が文字式の証明の意味を理解できるようになることを目指します。

この研究のきっかけは、学生が数学の証明(しょうめい)(数学や論理学(ろんりがく)において、ある命題が正しいことを示(しめ)すために論理的(ろんりてき)に説明(せつめい)すること。この研究では、文字を使った証明(しょうめい)が難(むずか)しいことを示(しめ)しています。証明(しょうめい)は、学生が数学の概念(がいねん)を深く理解(りかい)するために重要(じゅうよう)です。)を理解(りかい)するのが難(むずか)しいことです。特(とく)に文字を使った証明(しょうめい)が難(むずか)しいです。そこで、指を使った掛(か)け算(ざん)を使って、証明(しょうめい)をわかりやすくする授業(じゅぎょう)を作りました。この方法(ほうほう)で、生徒(せいと)が証明(しょうめい)の意味を理解(りかい)しやすくなります。そして、仮定(かてい)(証明(しょうめい)や論理(ろんり)の出発点として設定(せってい)される前提条件(ぜんていじょうけん)。研究では、仮定(かてい)と結論(けつろん)のつながりを意識(いしき)する授業(じゅぎょう)が行われました。仮定(かてい)は、正しい結論(けつろん)を導(みちび)くために重要(じゅうよう)です。)と結論(けつろん)(仮定(かてい)から導(みちび)き出(だ)される結果(けっか)や終端(しゅうたん)の主張(しゅちょう)。研究では、学生が仮定(かてい)と結論(けつろん)のつながりを考えることで理解(りかい)が深まったことが示(しめ)されています。結論(けつろん)は、論理的(ろんりてき)な議論(ぎろん)の終着点です。)のつながりを意識(いしき)する授業(じゅぎょう)を行いました。

研究の結果(けっか)、生徒(せいと)たちは文字を使った証明(しょうめい)(数学や論理学(ろんりがく)において、ある命題が正しいことを示(しめ)すために論理的(ろんりてき)に説明(せつめい)すること。この研究では、文字を使った証明(しょうめい)が難(むずか)しいことを示(しめ)しています。証明(しょうめい)は、学生が数学の概念(がいねん)を深く理解(りかい)するために重要(じゅうよう)です。)が理解(りかい)しやすくなりました。クラスの半分の生徒(せいと)が、その意味を理解(りかい)できるようになりました。でも、全ての生徒(せいと)が理解(りかい)したわけではありませんでした。特(とく)に、一部の生徒(せいと)は文字の意味を意識(いしき)していませんでした。でも、ある生徒(せいと)は仮定(かてい)(証明(しょうめい)や論理(ろんり)の出発点として設定(せってい)される前提条件(ぜんていじょうけん)。研究では、仮定(かてい)と結論(けつろん)のつながりを意識(いしき)する授業(じゅぎょう)が行われました。仮定(かてい)は、正しい結論(けつろん)を導(みちび)くために重要(じゅうよう)です。)と結論(けつろん)(仮定(かてい)から導(みちび)き出(だ)される結果(けっか)や終端(しゅうたん)の主張(しゅちょう)。研究では、学生が仮定(かてい)と結論(けつろん)のつながりを考えることで理解(りかい)が深まったことが示(しめ)されています。結論(けつろん)は、論理的(ろんりてき)な議論(ぎろん)の終着点です。)のつながりを考えることで、よりよく理解(りかい)していました。

授業(じゅぎょう)では、指を使った掛(か)け算(ざん)を使いました。これは、文字式(文字を用いて表現(ひょうげん)される数式。研究では、文字式の意味を理解(りかい)することが難(むずか)しいため、指を使った掛(か)け算(ざん)を用いてわかりやすくする方法(ほうほう)が取られました。文字式は、抽象的(ちゅうしょうてき)な数学の問題を解(と)くために重要(じゅうよう)です。)の意味をわかりやすくするためです。授業(じゅぎょう)は三つの活動に分けました。まず、指を使って計算する方法(ほうほう)を確認(かくにん)しました。そして、文字式を変形(へんけい)(数式や文字式を異(こと)なる形に変(か)えること。授業(じゅぎょう)では、文字式を変形(へんけい)する方法(ほうほう)を考える活動が行われました。変形(へんけい)は、問題を解(と)きやすくするために重要(じゅうよう)な操作(そうさ)です。)する方法(ほうほう)を考えました。最後(さいご)に、なぜそのように変形(へんけい)すると命題(数学や論理学(ろんりがく)における主張(しゅちょう)や命令(めいれい)。この研究での命題は、文字式を使った証明(しょうめい)とそれに関連(かんれん)する活動に基(もと)づいています。命題は、証明(しょうめい)を構築(こうちく)するための基盤(きばん)となります。)が成(な)り立(た)つのかを考えました。

この研究で、指を使った掛(か)け算(ざん)を使うと、生徒(せいと)が文字式(文字を用いて表現(ひょうげん)される数式。研究では、文字式の意味を理解(りかい)することが難(むずか)しいため、指を使った掛(か)け算(ざん)を用いてわかりやすくする方法(ほうほう)が取られました。文字式は、抽象的(ちゅうしょうてき)な数学の問題を解(と)くために重要(じゅうよう)です。)の意味をわかりやすくなることがわかりました。でも、全ての生徒(せいと)が理解(りかい)したわけではありませんでした。文字式の意味を理解(りかい)するためには、具体的(ぐたいてき)な操作(そうさ)が大切だとわかりました。また、証明(しょうめい)(数学や論理学(ろんりがく)において、ある命題が正しいことを示(しめ)すために論理的(ろんりてき)に説明(せつめい)すること。この研究では、文字を使った証明(しょうめい)が難(むずか)しいことを示(しめ)しています。証明(しょうめい)は、学生が数学の概念(がいねん)を深く理解(りかい)するために重要(じゅうよう)です。)を作ることが必(かなら)ずしも意味を理解(りかい)することにつながるわけではありませんでした。

これからの研究では、もっといろいろな方法(ほうほう)を取り入れて、生徒(せいと)が文字式(文字を用いて表現(ひょうげん)される数式。研究では、文字式の意味を理解(りかい)することが難(むずか)しいため、指を使った掛(か)け算(ざん)を用いてわかりやすくする方法(ほうほう)が取られました。文字式は、抽象的(ちゅうしょうてき)な数学の問題を解(と)くために重要(じゅうよう)です。)の意味を深く理解(りかい)できるようにします。特(とく)に、証明(しょうめい)(数学や論理学(ろんりがく)において、ある命題が正しいことを示(しめ)すために論理的(ろんりてき)に説明(せつめい)すること。この研究では、文字を使った証明(しょうめい)が難(むずか)しいことを示(しめ)しています。証明(しょうめい)は、学生が数学の概念(がいねん)を深く理解(りかい)するために重要(じゅうよう)です。)の時に文字式の意味をどうやって考えさせるかが大事です。指を使った操作(そうさ)だけでなく、他の道具も使うことを考えます。これにより、もっと多くの生徒(せいと)が文字式の証明(しょうめい)の意味を理解(りかい)できるようにします。