Ab initio study of the thermodynamics of quantum chromodynamics on the lattice at zero and finite densities

本論文は、WHOT-QCD Collaborationによる一連のab initio格子QCD研究を報告するもので、有限温度および（小さい）有限密度におけるQCDの熱力学と相構造の解明を目的としている。とくに、改良Wilson型クォークを用いたシミュレーションに重点を置く。著者らはこの焦点の理由として、staggered型クォークが有限温度や状態方程式（equation-of-state: EOS）の研究（物理点や連続極限への外挿を含む）を広範に可能にしてきた一方で、staggered定式化には未解決の理論的問題（例：局所性や普遍性）が残ること、これに対してWilson型クォークは理論的により明確である反面、計算コストが大幅に高く、特にクォーク質量が小さい領域でその負担が大きいことを挙げる。したがって本論文の目的は二つある。(i) Wilson型による熱力学計算を実用化するための複数の方法論的発展（EOSのためのfixed-scale approachとT-integration法、符号問題を緩和するcumulant expansionに基づく「Gaussian method」、相構造解析のためのhistogram/reweighting枠組み）を紹介し検証すること、(ii) 2 + 1 flavor QCDにおけるEOS計算や、二フレーバーQCDにおける有限密度熱力学など、Wilson型としては初期段階の結果を提示し、関連解析（例：重クォーク自由エネルギーやスクリーニング）も併せて示すことである。

改良Wilsonクォークを用いた2 + 1 flavor QCDのEOSについて、(β, κud, κs) = (2.05, 0.1356, 0.1351)（mπ /mρ = 0.63、mηss /mφ = 0.74）でtrace anomaly (ε − 3p)/T^4を得て、T-integrationによりpとεを再構成した。(ε − 3p)/T^4はT = 199 MeV（Nt = 14）で約7のピークを示し、trace anomalyの形状から、疑似臨界領域（pseudocritical region）は174〜199 MeVの間にあると推定している。得られたEOSは不確かさが大きい範囲内で、物理点近傍での当時の高度改良staggeredクォーク結果と概ね整合すると述べる一方、ピークがやや高いことは、軽クォーク質量が物理値より重いことと整合的だとしている。二フレーバー有限密度QCD（改良Wilsonクォーク）では、Taylor展開の結果から、圧力補正がμとともに増大し、クォーク数感受率χqがμ/TがO(1)に達するにつれてピークを形成しやすくなることが示される。さらに、複素位相に対するcumulant expansion（Gaussian）処理と分散低減の手順を組み合わせることで、Tpc付近のχq/T^2のピークが明瞭に観測され、μ/T ≥ O(1)で増大することが確認される。著者らはこれをstaggeredクォークでの観測と整合的であり、有限μでの臨界点を示唆するものと解釈するが、研究は展開法により小〜中程度のμ/Tに限定される点を強調している。対照的に、アイソスピン感受率は鋭いピークを示さず、臨界点で解析的であるという期待と整合的である。heavy-quark領域にhistogram/reweighting枠組みを適用し、クォーク質量を下げたとき一次のdeconfinement転移が終端する位置を同定した。Nt = 4の二フレーバーQCD（ホッピングパラメータ展開のleading order）ではκcp = 0.0658(3)(+4 −11)を与え、対応する2 + 1 flavorの結果も（critical line/surfaceとして）提示している。さらにこのheavy-quark解析をμ ≠ 0へ拡張し、位相にGaussian近似を用いると、κcp(μ)は現時点の誤差の範囲でphase-quenchedの期待値κIcp(μ)と統計的に区別できないと報告する。重クォーク自由エネルギーについては、（Tpcより上で）singlet/antitripletチャネルで引力、octet/sextetチャネルで斥力が見られ、screened-Coulombフィットは「Casimir dominance」を示し、色チャネル間で普遍的なαeff(T)およびmD(T)が得られるとしている。2 + 1 flavorのfixed-scaleシミュレーションでは、singlet自由エネルギーが短距離でT = 0ポテンシャルに一致し、長距離で2FQに近づくことを直接確認した。

本研究は、Wilson型クォークに適した複数の格子熱力学・有限密度手法を組み合わせている。有限温度について、著者らはfixed-Nt approach（一定物理線LCPsに沿って格子間隔aを変える）とfixed-scale approach（結合を固定し、Ntを変えてT = 1/(Nta)とする）を対比する。fixed-scale approachは自動的にLCP上にとどまり、T = 0の減算を共有できるため、多数のゼロ温度アンサンブルの必要性を減らせる点を強調する。圧力pの標準的なintegration methodは結合定数空間での微分を積分するため、単一の結合点では直接使えない。そこでμ = 0においてT-integration法を導入し、熱力学恒等式を用いて、低温側の点でp(T0) ≈ 0とおき、(ε − 3p)/T^5をTについて積分することでp(T)/T^4を求める。次に、ε − 3pとpからεを再構成する。trace anomalyの計算では、LCPに沿った非摂動的ベータ関数a dβ/daとa dκf/daが必要であり、T = 0の観測量（amρ、mπ/mρ、mηss/mφ）に対する結合（β, κud, κs）の関数形をグローバルフィットして抽出することで、κfに関する小さな微分を求める際に不安定になりやすい行列反転を回避している。フェルミオン微分やTaylor係数に必要な演算子トレースは、ランダムノイズ推定量（U(1) noise）で評価する。主として空間インデックスに対してノイズを適用し、色とスピンは明示的に走査し、トレースの積には独立なノイズを用いる。有限密度については、μ = 0まわりのTaylor展開を用いて熱力学量（圧力、クォーク数密度、感受率）を求め、reweightingと組み合わせる。複素位相（符号問題）の扱いとして、ln det MのTaylor級数により位相θを定義し（2πの曖昧さを回避）、⟨e^{iθ}⟩をcumulant expansionで評価する。対称性により奇数次のキュムラントが消えるため、収束すれば結果は実数正となる。経験的にθのヒストグラムはμ/T ∼ O(1)まで概ねGaussianに近く、第二キュムラントが支配的とするGaussian近似を動機づけている。相構造研究では、作用に関連する観測量（とくにplaquette様変数P、heavy-quark展開ではPolyakov loopに関連する量）の確率分布を用いるhistogram（density-of-states）法を開発し、reweightingと組み合わせて有効ポテンシャルをパラメータ空間上で写像する。一次転移は、有効ポテンシャルの二重井戸構造や複数の停留点によって診断する。heavy-quark領域ではクォーク行列式をホッピングパラメータκで展開し（Polyakov loopやκ^4のplaquette項を含むleading term）、半解析的なreweightingを可能にする。κcp近傍での展開の信頼性を見積もるため、next-to-leading項もチェックしている。

本論文の中心的貢献は、改良Wilson型クォークを用いた熱力学計算および探索的な相構造研究が、目的に沿ったアルゴリズム・解析手法の開発を伴えば実行可能であることを示した点にある。fixed-scale approachとT-integration法の組み合わせは、複数のT = 0シミュレーションの必要性を大きく減らしつつEOSを計算するための現実的な経路を与え、著者らが述べるところでは、選択したパラメータにおける2 + 1 flavor QCDのWilson型クォークによる初のEOS計算を提示している。ただし統計・系統不確かさは依然として大きく、特に低温でtrace anomalyに影響するNt^4の増強因子や、整数Ntを変えることに由来する温度分解能の離散性が主要因である。それでも、報告されたtrace anomalyのピークおよび推定された疑似臨界領域はstaggeredに基づく基準と概ね整合し、手法の信頼性を支持するとしている。有限密度については、複素行列式位相をcumulant expansion（しばしばGaussianでよく近似）で扱うことで、符号問題を収束・推定の問題へと転換でき、研究対象としたμ/T ∼ O(1)領域では経験的に扱える範囲であると論じる。これにより、μ/Tの増加に伴ってTpc近傍の顕著なχqピークといったより明瞭なシグナルが得られる。histogram/reweighting枠組みは、一次転移領域とその境界を効率よく診断する手段も提供し、heavy-quark極限で検証されたうえで、制御された近似のもとに非零化学ポテンシャルへも拡張されている。総合すると、本研究は、より現実的なWilson型によるQCD物質研究を支えるための方法論的基盤と、初期的な数値ベンチマークを提供する。

著者らは本研究の結果を、（またはそれに極めて近い）物理点での2 + 1 flavor QCDシミュレーション、および有限密度シミュレーションへ向けた中間段階と位置づける。EOSについては必要な改善を具体的に挙げており、低温での統計の増強（この文脈で正確な低温EOSには非常に大きな統計が必要で、O(Nt^7)としてスケーリングすると議論）、fixed-scale approachでの温度分解能の改善（奇数Ntでのシミュレーションや、より細かい格子間隔の利用を含む）、さらに格子化誤差が制御でき次第、異なる格子間隔での結果を組み合わせてT-integrationにおけるT方向の補間をより滑らかにする可能性を述べている。次段階として、PACS-CS Collaborationが生成した物理点の構成を用い、現在の「物理値より重い」軽クォークから先へ進むとしている。有限密度と相構造については、heavy-quark領域からより軽い動的クォークへ向けてhistogram法を拡張する作業を進めており、その際、histogram手法とphase-quenchedシミュレーションを組み合わせること、位相因子についてはcumulant expansionによる制御を継続し、より大きいμでGaussian支配を検証するため高次キュムラントを監視することを述べている。heavy-quark解析では、多変数有効ポテンシャル手法でより滑らかな等高線を得るための改良にも言及する。最後に、スクリーニングおよび重クォーク関連の観測量については、1.5 < T/Tpc < 3におけるmE−/mM+のような比での良好な一致パターンはあるものの、ゲージ非依存な電気・磁気スクリーニング質量の解釈と含意を明確にするには、さらなる研究が必要だとしている。

この論文は、WHOT QCD(クォークとグルーオンの間にはたらく強い力を説明する理論です。高温高密度では物質の状態が大きく変わるため、その相構造を調べる対象になります。) Collaborationが行った「格子QCD(空間と時間を格子状の点に区切って、QCDをコンピュータで計算する方法です。連続な世界を離散化して扱うことで、強い相互作用のような解析が難しい問題を数値的に調べられます。)」という計算方法を使い、QCD（クォークとグルーオンの理論）が高温や少しだけ高い密度のときに、物質の性質がどう変わるかを調べた研究報告です。特に、Wilson型クォーク(格子QCDでクォークを表す方法の1つです。理論的に分かりやすい一方で計算コストが高く、特に軽いクォークで計算が難しくなります。)という方法での計算に力を入れています。
これまでよく使われてきたstaggered型クォーク(格子QCDでよく使われてきた別のクォークの表し方です。計算が軽い利点がありますが、理論的に残る課題も指摘されています。)は計算しやすく、温度を上げたときの状態方程式(温度や密度と、圧力やエネルギー密度などの関係をまとめたものです。高温物質の性質を理解する基本情報になります。)などを広く調べられましたが、理論的にまだはっきりしない点が残っています。一方、Wilson型クォークは理論的には分かりやすい反面、計算がとても重く、特に軽いクォーク質量では大変です。
そのためこの論文の目的は、主に次の2つです。
1つ目は、Wilson型でも現実的に計算できるようにするための方法を開発し、使えるか確かめることです。2つ目は、その方法を使って、2＋1フレーバー(軽いuとdクォーク2種類に加え、sクォーク1種類も入れた設定です。現実の世界に近いQCD計算でよく使われます。)QCDの状態方程式や、2フレーバーQCDの有限密度(粒子数が多く、密度が高い状況のことです。QCDでは化学ポテンシャルで密度を表し、密度が上がると相転移や臨界点の可能性が出てきます。)での熱力学量など、Wilson型として初期段階の結果を示すことです。

2＋1フレーバー(軽いuとdクォーク2種類に加え、sクォーク1種類も入れた設定です。現実の世界に近いQCD計算でよく使われます。)QCD(クォークとグルーオンの間にはたらく強い力を説明する理論です。高温高密度では物質の状態が大きく変わるため、その相構造を調べる対象になります。)の状態方程式(温度や密度と、圧力やエネルギー密度などの関係をまとめたものです。高温物質の性質を理解する基本情報になります。)について、改良Wilsonクォーク(Wilson型の欠点である格子誤差を減らす工夫を入れた方法です。より現実に近い結果を目指すために使われます。)を使った計算から、trace anomaly(エネルギー密度と圧力の組み合わせε−3pを使った量です。自由な気体なら0に近いですが、相互作用が強いと大きくなり、相転移付近でピークを作るため重要です。)という量を求め、そこから圧力とエネルギー密度を復元しました。その結果、trace anomalyはT＝199MeV付近でピーク（約7）を示し、相転移に対応する「疑似臨界温度(厳密な相転移ではなく、なだらかな変化しかない場合に、変化が最も起こりやすい温度領域を指します。格子QCDの有限温度研究でよく使います。)」の領域は174〜199MeVの間にあると推定しています。結果は誤差が大きいものの、当時の高度改良staggered型クォーク(格子QCDでよく使われてきた別のクォークの表し方です。計算が軽い利点がありますが、理論的に残る課題も指摘されています。)の結果と大まかに合うと述べています。ピークが少し高めなのは、軽いクォークの質量が現実より重い設定であることと整合するとしています。
2フレーバーQCDの有限密度(粒子数が多く、密度が高い状況のことです。QCDでは化学ポテンシャルで密度を表し、密度が上がると相転移や臨界点の可能性が出てきます。)では、化学ポテンシャル(粒子数や密度をコントロールするための量です。ここでは主にクォークの密度を表し、μ/Tの大きさが有限密度効果の強さの目安になります。)が増えると圧力の補正が増え、クォーク数感受率(密度のゆらぎの大きさを表す量です。相転移や臨界点の近くでピークが出やすく、重要な観測量です。)がピークを作りやすくなることが示されました。また、符号問題(確率として使う重みが複素数になってしまい、モンテカルロ計算が成り立たなくなる問題です。有限密度QCDで最大の障害の1つです。)を抑えるGaussian method(cumulant expansionを使い、位相の分布がガウス形に近いとみなして主要項だけで近似する方法です。符号問題による誤差を抑える目的があります。)などを組み合わせることで、疑似臨界温度付近でのクォーク数感受率のピークがよりはっきり見え、μ/Tが1程度以上で増大することが確認されました。著者らはこれを、有限μで臨界点がある可能性を示すものとして解釈しますが、使った展開法の性質上、小〜中程度のμ/Tに限られる点を強調しています。
さらに、heavy quark(uやdよりずっと重いクォーク、あるいは格子計算で「非常に重い極限」を意味します。この極限では近似が使いやすく、相転移境界の研究に利用されます。)（とても重いクォーク）領域でhistogramとreweighting(μ＝0などで作ったデータを、重みを補正して別の条件μ≠0の結果に変換する技術です。有限密度での推定に使われます。)を使い、クォーク質量を下げたときに一次転移(氷が水になるように、状態が急に切り替わる相転移です。格子QCDでは分布が二峰性になるなどの特徴があります。)が終わる位置（臨界点）を推定しました。
重クォーク自由エネルギー(静的な重いクォーク同士の相互作用の強さを、温度のある媒質中で表す量です。高温ではスクリーニングで相互作用が弱まります。)では、温度が疑似臨界温度より上で、色の状態によって引力や斥力が出ること、screened Coulomb(クーロン力に指数関数的な減衰がかかった形で、スクリーニングされた相互作用を表す式です。高温QCDで自由エネルギーを近似するのに使います。)型でよく表せること、さらに色の違いを超えて共通の有効結合やスクリーニング質量で整理できることを示しています。

有限温度(温度が0ではない状況のことです。QCDでは温度を上げると閉じ込めがほどけ、クォークグルーオンプラズマのような状態が現れると期待されます。)の扱いでは、温度Tを変える方法としてfixed Nt approach(Ntを固定し、結合定数を変えて格子間隔aを変えることで温度を連続的に変える方法です。温度を細かく変えやすい利点があります。)とfixed scale approach(格子間隔aと結合定数を固定し、Ntを変えて温度を変える方法です。ゼロ温度の引き算を共通化でき、計算資源を節約できます。)を比べ、主にfixed scale approachを使っています。fixed scale approachは結合定数などを固定し、時間方向の格子点数Ntを変えることでT＝1 Ntaとして温度を変えます。この方法だと、同じゼロ温度データを使い回せるので、ゼロ温度計算の負担を減らせます。
ただし、圧力を求める通常のintegration method(結合定数空間で積分して圧力を求める標準的手法です。多くの結合点のデータが必要なので、固定した結合定数では使いにくいです。)は、結合定数を変えながら積分する必要があり、固定した結合定数では使えません。そこでT integration method(trace anomalyを温度方向に積分して圧力を求める方法です。fixed scale approachでは結合定数を変えないため、圧力計算にこの方法が重要になります。)を使い、trace anomaly(エネルギー密度と圧力の組み合わせε−3pを使った量です。自由な気体なら0に近いですが、相互作用が強いと大きくなり、相転移付近でピークを作るため重要です。)を温度方向に積分して圧力を求め、その後エネルギー密度も計算します。
有限密度(粒子数が多く、密度が高い状況のことです。QCDでは化学ポテンシャルで密度を表し、密度が上がると相転移や臨界点の可能性が出てきます。)では、μ＝0まわりのTaylor展開(μを小さい量として、圧力などをμのべき級数で近似する方法です。有限密度計算で直接シミュレーションできない状況を補う代表的手段です。)で熱力学量を計算し、reweighting(μ＝0などで作ったデータを、重みを補正して別の条件μ≠0の結果に変換する技術です。有限密度での推定に使われます。)も併用します。しかしμ≠0では行列式が複素数になって符号問題(確率として使う重みが複素数になってしまい、モンテカルロ計算が成り立たなくなる問題です。有限密度QCDで最大の障害の1つです。)が起きます。これに対し、複素位相をcumulant expansion(位相因子の平均をキュムラントという量の級数で表す方法です。収束すれば結果を安定して扱えるため、符号問題の対処に使われます。)で扱い、分布がガウス形に近い範囲ではGaussian近似で計算を安定化させます。
相構造の解析では、観測量の分布（ヒストグラム）を用いて有効ポテンシャル(分布の対数を使って作る、相の安定性を見やすくした関数です。二重井戸構造があると一次転移の可能性が高いと判断します。)の形を調べ、二重井戸構造などから一次転移(氷が水になるように、状態が急に切り替わる相転移です。格子QCDでは分布が二峰性になるなどの特徴があります。)を判定します。heavy quark(uやdよりずっと重いクォーク、あるいは格子計算で「非常に重い極限」を意味します。この極限では近似が使いやすく、相転移境界の研究に利用されます。)領域ではホッピングパラメータ展開(クォークがとても重いときに、パラメータκを小さい量として行列式などを近似する方法です。heavy quark領域の相構造探索に便利です。)を使い、計算を半解析的に進めています。

この研究の重要な点は、計算が重いWilson型クォーク(格子QCDでクォークを表す方法の1つです。理論的に分かりやすい一方で計算コストが高く、特に軽いクォークで計算が難しくなります。)でも、工夫した手法を組み合わせれば、高温QCD(クォークとグルーオンの間にはたらく強い力を説明する理論です。高温高密度では物質の状態が大きく変わるため、その相構造を調べる対象になります。)の状態方程式(温度や密度と、圧力やエネルギー密度などの関係をまとめたものです。高温物質の性質を理解する基本情報になります。)や有限密度(粒子数が多く、密度が高い状況のことです。QCDでは化学ポテンシャルで密度を表し、密度が上がると相転移や臨界点の可能性が出てきます。)の性質、相転移の探索が実際に可能だと示したことです。特にfixed scale approach(格子間隔aと結合定数を固定し、Ntを変えて温度を変える方法です。ゼロ温度の引き算を共通化でき、計算資源を節約できます。)とT integration method(trace anomalyを温度方向に積分して圧力を求める方法です。fixed scale approachでは結合定数を変えないため、圧力計算にこの方法が重要になります。)により、ゼロ温度計算の数を減らしつつ状態方程式を求める現実的な道筋を示しました。
また、有限密度では、cumulant expansion(位相因子の平均をキュムラントという量の級数で表す方法です。収束すれば結果を安定して扱えるため、符号問題の対処に使われます。)を使うことで符号問題(確率として使う重みが複素数になってしまい、モンテカルロ計算が成り立たなくなる問題です。有限密度QCDで最大の障害の1つです。)を「収束の問題」に置き換え、μ/Tが1程度までの範囲では扱える可能性を示しました。histogramとreweighting(μ＝0などで作ったデータを、重みを補正して別の条件μ≠0の結果に変換する技術です。有限密度での推定に使われます。)を組み合わせた枠組みも、一次転移(氷が水になるように、状態が急に切り替わる相転移です。格子QCDでは分布が二峰性になるなどの特徴があります。)とその終端の探索に役立つことが確認されました。全体として、Wilson型でより信頼性の高いQCD物質研究を進めるための方法の土台と、初期の数値結果を提供しています。

著者らは、この研究を「物理点（現実のクォーク質量）に近づくための中間段階」と位置づけています。状態方程式(温度や密度と、圧力やエネルギー密度などの関係をまとめたものです。高温物質の性質を理解する基本情報になります。)については、低温側で誤差が大きくなる問題があり、統計量を大幅に増やす必要があると述べています。またfixed scale approach(格子間隔aと結合定数を固定し、Ntを変えて温度を変える方法です。ゼロ温度の引き算を共通化でき、計算資源を節約できます。)ではNtが整数なので温度の刻みが粗くなりやすく、奇数Ntでの計算や、より細かい格子間隔の利用などで改善したいとしています。さらに、格子間隔の違う結果を組み合わせて温度方向の補間を滑らかにすることも提案しています。
有限密度(粒子数が多く、密度が高い状況のことです。QCDでは化学ポテンシャルで密度を表し、密度が上がると相転移や臨界点の可能性が出てきます。)や相構造では、heavy quark(uやdよりずっと重いクォーク、あるいは格子計算で「非常に重い極限」を意味します。この極限では近似が使いやすく、相転移境界の研究に利用されます。)領域で確かめたhistogram法を、より軽い動的クォークへ広げていく方針です。その際、phase quenched(複素位相を無視して絶対値だけで計算する近似です。符号問題を避けられますが、本来の理論と違う場合があるため、補正や比較が必要です。)計算と組み合わせたり、Gaussian近似がどこまで成り立つかを高次のキュムラントで確認したりする必要があるとしています。スクリーニング質量などの解釈についても、よりはっきりさせるため追加研究が必要だと述べています。