A Note on Profitable Mergers in a Hierarchical Stackelberg Model

本論文は、数量競争を行う階層的Stackelberg model（HSM）において、水平的な合併（horizontal merger）が利益をもたらすかどうかを検討する。ここでは、（外生的に与えられた行動順序を除けば）同一の複数企業が産出量を逐次的に選択し、均衡はサブゲーム完全均衡である。先行研究では、HSMの結果をCournotと比較し、価格・総余剰・総利潤への含意が強調されてきた一方、HSM内での合併の収益性は直接にはほとんど扱われてこなかった。本研究の動機は、寡占モデル間で合併結果が対照的である点にある。Cournot競争では、合併後の企業が非常に大きな市場シェアを得ない限り合併はしばしば非収益的であるのに対し、2段階のStackelberg設定では、特定の合併（例：leader–follower）が収益的である。本論文は、合併収益性の分析をn-hierarchical Stackelbergの枠組みに拡張することを目的とする。まず一般的な需要関数の下で何が示せるかを検討し、その後、線形・凹・凸の逆需要の曲率を包含するよう設計された需要クラスに移り、線形需要のベンチマークよりも一般的な形で「どの合併も収益的である（any merger is profitable）」を示せるかを確かめる。

一般的な需要の設定（厳密に減少し2回微分可能な逆需要、限界費用一定、内点解、そして最適反応が右下がりで一意で安定的な均衡を保証する条件）の下で、本論文は頑健な序列結果を示す。すなわち、先に行動する企業ほど産出量が多く利潤も高い（q1 > q2 > … > qn および π1 > π2 > … > πn）。また、独占の産出量は任意のn-hierarchy（n ≥ 2）における総産出量より小さく、かつ最終行動企業の産出量より大きいことを示し、さらに、階層間で総産出量を比較することと最終企業の産出量を比較することを結び付ける条件付きの関係も導く。しかし、合併に関する中心的な問いは一般需要の下では未解決のままである。たとえば、すべてのnについてQ(n) < Q(n + 1)（より小さい階層で総利潤が高いことを含意）といった追加仮定を置いても、合併後の統合企業の利潤と、合併前の2社の利潤合計との間に、一般的で明示的な順位付けは得られない。これは、主要な対象（とりわけ最適反応の傾き r′i(n) や均衡産出量 qi(n)）が扱いやすい形で特定できないためである。これに対し、需要をQ(P) = 1 − P^α（α > 0）かつc = 0に制限すると（凸：0 < α < 1、線形：α = 1、凹：α > 1 を包含）、需要の曲率に依らずHSMではすべての合併が収益的である、という本論文の主結果が得られる。すなわち任意の i < j について、合併後に位置 i で行動する統合企業は πi(n − 1) > πi(n) + πj(n) を満たす。

分析は理論的で、均衡に基づく。企業は同質財を生産し、n段階の逐次手番ゲームで数量競争を行う。解概念は後ろ向き帰納法で求めるサブゲーム完全均衡である。論文はまず、厳密に減少し2回微分可能な一般の逆需要P(Q)と、一定の限界費用cを置き、各企業の利潤最大化問題が内点解を持ち二階条件を満たすことを仮定する。一意性と安定性を保証するため、最適反応関数が右下がりであること、および「右下がりの限界収入（downward-sloping marginal revenue）」条件を仮定する。著者は最終行動企業の一階条件を導き、次いで先行企業へ再帰的に導出し、各企業の最適反応を qi = ri(Q−i) と表す。さらに、隣接する手番の企業の一階条件の間に成り立つ関係を用いて、手番順に沿った産出量と利潤の単調な序列を証明する。合併分析では、n-hierarchyと(n − 1)-hierarchyの結果を比較し、総産出量と総利潤を検討する（Q(n) < Q(n + 1) の追加仮定の下で成立する結果も含む）。一般需要では合併収益性の明確な比較が得られないため、その後、扱いやすさのために需要をQ(P) = 1 − P^α（α > 0）と特定し、c = 0に正規化する。この特定の下で、最適反応、均衡数量、価格、利潤を明示的に解き、そして著者が「tedious calculation」と述べる計算により、(n − 1)-hierarchyにおける統合企業の利潤が、n-hierarchyにおける合併前2社の利潤合計を上回ることを証明する。

本論文は、需要を標準的な正則性条件と安定性条件以上には特定しない限り、HSMの枠内で合併収益性に関する完全に一般的な結果は得られないと結論づける。追加的な構造がなければ、πi(n − 1) と πi(n) + πj(n) の間の比較は確定しない。それでも、広いパラメトリックな需要クラスであるQ(P) = 1 − P^α（α > 0）の下では、需要が凸・線形・凹のいずれであっても、HSMにおいてすべての合併が収益的であるという強い肯定的結果を提示する。この発見は、HSMにおける逐次手番の数量競争では合併が体系的に収益的になりやすいという直観を支持する一方で、関数形を制限したことによる「一般性の喪失（loss of generality）」も認める。線形ケースについてはメカニズムも提示される。すなわち各企業は残余需要に対して独占企業のように振る舞うため、企業の産出量は後続企業の数に依存しない。したがって、合併により企業数が減ると価格が上昇し、統合企業の利潤が合併前利潤の合計を上回る。意義は主として比較にあり、合併がしばしば非収益的となるというよく知られたCournotの合併結果と対比することで、階層的Stackelberg競争という戦略環境が標準的な合併収益性の予測を反転させうることを示している。

本論文は、主要な未解決問題として、制限的な関数形を課さず真に一般的な需要の下で「どの合併も収益的である」を証明できるかどうかを挙げる。一般需要では、均衡における最適反応の傾きや産出量水準が、合併企業と分離企業の利潤を明確に比較できる形で明示的に特徴づけられないため、一般結果は得られなかったと報告している。一方で、曲率に柔軟だが依然として特定的な需要族（Q(P) = 1 − P^α）において普遍的収益性が成立することを示すことで、HSMで合併収益性を保証するのに十分な、（選んだパラメトリック・クラスを超えた）より広い需要条件を特定すること、あるいは一般証明の試みがどこで破綻するのかを精密化することが、今後の研究方向として示唆される。より狭い意味では、指定したクラスの外に出たときに合併収益性が需要の性質にどう依存するのかは未解決のままであり、著者は普遍的収益性がなお真である可能性を推測しているものの、確証には至っていない。

この論文は、同じような企業が「どの順番で生産量を決めるか」が決まっている市場で、企業どうしの合併が利益を増やすのかを調べています。ここで扱うのは、企業が同じ商品を作り、順番に生産量を決める数量競争(企業が価格ではなく生産量を戦略として決め、その結果として市場価格が決まる競争のしかたです。)のモデルです。
これまでの研究では、このモデルの価格や社会全体の得（総余剰）、業界全体の利益などはよく調べられてきましたが、「合併すると得なのか」はあまり直接扱われてきませんでした。
また、別の代表的な数量競争モデルであるクールノー競争(複数の企業が同時に生産量を決める数量競争モデルです。合併が得になりにくいことが多いと知られています。)では、合併は「合併後の会社が非常に大きな市場シェアを持たないと得になりにくい」と知られています。一方、2社が2段階で動くスタッケルベルグ競争(企業が順番に生産量を決める数量競争モデルです。先に動く企業が有利になりやすいです。)では、特定の合併が得になることがあります。そこで本論文は、この「順番が何段階もある」スタッケルベルグ型のモデルに広げて、合併が得になるかを確かめることを目的にしています。
まず一般的な需要の形でどこまで言えるかを検討し、その後、需要の形をあるタイプに絞ったうえで「どの合併でも利益が増える」を示せるかを調べます。

需要の形をかなり一般的にしても成り立つ結果として、順番が早い企業ほど生産量が多く、利益も大きいことが示されます。つまり、先に動く企業ほど有利です。
また、独占（企業が1社だけ）の生産量は、企業が2社以上いて順番に動く場合の総生産量より小さい一方で、最後に動く企業1社の生産量よりは大きいことも示されます。
ただし、最も重要なテーマである「合併が必ず得かどうか」については、需要が一般的すぎると結論が出せません。合併後の利益と、合併前2社の利益合計を、いつでも比べて大小関係を断定できる形にできないからです。
そこで需要を Q(P) = 1 − P^α（α > 0）、限界費用(生産量を1単位増やしたときに追加でかかるコストです。論文では一定と仮定して計算を簡単にしています。)を0という形に限定すると、需要の曲がり方が違っても（凸・線形・凹のどれでも）このモデルでは「どの合併でも利益が増える」という主結果が得られます。つまり、どの2社が合併しても、合併後の統合企業の利益が合併前2社の利益合計より大きくなります。

理論モデルを使った分析です。企業は同じ商品を作り、n段階のゲームとして順番に生産量を決めます。均衡は、後ろの企業から順番に最適な行動を決めていく方法で求めます。
はじめに、逆需要が「価格が上がると需要量が下がる」性質を持ち、なめらかに変化すること、限界費用(生産量を1単位増やしたときに追加でかかるコストです。論文では一定と仮定して計算を簡単にしています。)が一定であることなどを仮定し、均衡が1つに決まり安定する条件を置きます。この設定で、順番によって生産量と利益がきれいに並ぶこと（先手ほど大きい）を証明します。
合併については、企業数がn社のときと、合併でn−1社になったときを比べます。しかし一般需要だと必要な式がはっきり求まらず、合併が得かどうかを一般的に示せません。
そこで後半では需要を Q(P) = 1 − P^α に特定し、計算しやすくした上で均衡の生産量や利益を具体的に求め、合併後の利益が合併前の合計より大きいことを計算で示します。

需要の形をあまり決めない一般的な設定では、階層的スタッケルベルグモデル(企業が同時ではなく、決まった順番で生産量を選ぶ数量競争のモデルです。先に決める企業ほど有利になりやすいのが特徴です。)で「合併が必ず得」と言い切る完全に一般的な結論は得られない、というのが結論です。
一方で、Q(P) = 1 − P^α（α > 0）という広い需要のクラスでは、需要の曲がり方に関係なく「どの合併も収益的」という強い結果が示されました。ただし、需要の形を絞った分だけ、どんな市場にもそのまま当てはまるとは限らない点（一般性が落ちる点）も認めています。
線形需要の場合の直感としては、各企業が「自分より前の企業が残した需要（残余需要(先に動いた企業の供給を差し引いたあとに、後から動く企業が相手にする「残りの需要」のことです。)）」に対して独占企業のようにふるまうため、後ろに何社いるかにあまり左右されずに生産量が決まります。合併で企業数が減ると価格が上がり、統合企業の利益が合併前の2社の利益合計を上回りやすくなります。
この結果は、合併が得になりにくいとされるクールノー競争(複数の企業が同時に生産量を決める数量競争モデルです。合併が得になりにくいことが多いと知られています。)の有名な結論と対比でき、「企業が順番に動く」という戦略環境では合併の結果が大きく変わりうることを示した点に意義があります。

今後の課題は、需要の形を特定しなくても（本当に一般的な需要でも）「どの合併も利益が増える」を証明できるかどうかです。一般需要では、均衡での最適反応の特徴や生産量が、合併前後の利益をはっきり比較できる形で表せないことが障害になりました。
そのため、今回扱った需要クラスよりも広い条件で合併が必ず得になる条件を見つけること、または一般的な証明がどこで難しくなるのかを詳しく明らかにすることが研究の方向として示されています。